아래와 같이 시그마로 표현되어 있으면, 자연수의 거듭 제곱의 합 공식을 통해서 변환할 수 있다.
이 공식은 등차수열의 합 공식을 유도할 때와 같은 원리로 유도할 수 있습니다. 수학자 가우스는 다음 자연수의 합 S =1+2+3+ ... +n 을 순서를 뒤집어서 계산하는 아이디어를 제시했습니다.
식의 양 변을 더하면 좌변은 2S가 되고, 우변의 각 항들을 더하면 (n+1)이 나옵니다.
즉, (n+1)이 n개가 있는 상황이 발생합니다. 식을 정리하면 다음 공식을 얻을 수 있습니다.
본 문제로 돌아와서, 아래와 같은 그림으로 분석할 수 있고 그룹으로 분류할 수 있다.
이 문제를 풀기 위해서는 몇가지 확인을 해야한다.
1. 수를 입력 받았을 때, 그 수는 어느 그룹에 속하는지?
2. 그룹 내 몇번 째 위치에 속하는지?
3. 해당 그룹은 정방향인지 역방향인지?( 그룹 번호가 홀수인지 짝수인지?)
따라서 어느 그룹에 속하는지 확인을 위해서 아래와 같이 일반항을 도출함.
아래 코드를 보자.
BufferedReader br = new BufferedReader( new InputStreamReader(System.in) );
// 1. 숫자를 입력받는다.
int n = Integer.parseInt( br.readLine() );
// 2. 그룹 번호, while문을 통해 자동 증가된다.
int groupNumber = 1;
// 3. 그룹 내 최대 번호, 초기값은 그룹번호 1일때를 기준
int a = 1;
// 4-1. 입력받은 값(n)이 그룹 내 최대 번호(a)보다 크다면 while문 반복
// 4-2. 입력받은 값은 무조건 그룹 내 최대번호와 같거나 작야아한다.
while( n > a ) {
groupNumber++;
a = groupNumber + ( ( groupNumber - 1 ) * groupNumber / 2 );
}
// 5-1. 그룹 내 위치 찾는다.
// 5-2. 그룹번호는 그룹 내 존재하는 숫자를 의미하기도 한다.
// 5-3. 예) 2번 그룹은 그룹 내 2개 숫자, 3번 그룹은 그룹 내 3개의 숫자
int position = groupNumber - ( a - n );
// 6. 정방향인지 역방향인지 확인, 홀수면 정방향, 짝수면 역방향
if( groupNumber % 2 == 0 ) {
System.out.println( position + "/" + ( (groupNumber + 1 ) - position ) );
} else {
System.out.println( ( (groupNumber + 1 ) - position ) + "/" + position );
}
